שיעור 11 – פתרון משוואות טריגונומטריות בתחום

למשוואה טריגונומטרית יש אינסוף פתרונות, כי הפונקציות חוזרות על עצמן. בתרגיל תמיד נתון תחום, ומחפשים רק את הפתרונות שבתוכו. שלושה שלבים:

1. מוצאים זווית אחת שמקיימת את המשוואה – לרוב ערך מיוחד.

2. רושמים את כל הפתרונות לפי הנוסחה, כאשר k מספר שלם:

3. מציבים k = 0 , ואחר כך k = 1 , −1 וכן הלאה, ושומרים רק את הפתרונות שנמצאים בתחום.

הזווית שהסינוס שלה √32 היא π3 (כמו 60 מעלות):

לפי הנוסחה יש שתי משפחות:

נציב k = 0 :

עבור k = 1 מקבלים π3 + 2π – זה כבר גדול מ־2π . עבור k = −1 מקבלים מספרים שליליים. לכן יש בתחום רק שני פתרונות.

ידוע ש־cos π3 = 12 . אנחנו צריכים מינוס חצי, ולכן נשתמש בזווית π − π3 = 2π3 :

לפי הנוסחה של קוסינוס:

נציב k = 0 : מהמשפחה הראשונה x = 2π3 נמצא בתחום. מהשנייה x = −2π3 שלילי – לא בתחום.

נציב k = 1 במשפחה השנייה:

במשפחה הראשונה k = 1 נותן 8π3 , שגדול מ־2π .

בטנגנס יש משפחה אחת, ומוסיפים כל פעם π:

נציב k = 0 :

נציב k = 1 :

עבור k = 2 מקבלים 9π4 , שגדול מ־2π = 8π4 . לכן יש שני פתרונות.

התחום הפעם הוא −π ≤ x ≤ π , כולל מספרים שליליים. נציב k = 0 :

שניהם בתחום. עבור k = 1 מקבלים π4 + 2π (גדול מ־π), ועבור k = −1 מקבלים −π4 − 2π (קטן מ־−π). לכן אין פתרונות נוספים.

לפי הנוסחה:

במשפחה הראשונה, k = 0 נותן x = 0 . k = ±1 נותן ±2π – מחוץ לתחום.

במשפחה השנייה, k = 0 נותן x = π , ו־k = −1 נותן:

הקצוות ±π נכללים, כי בתחום כתוב ≤ .

כאן הזווית היא 2x . פותרים קודם בשביל 2x , ורק בסוף מחלקים ב־2.

מחלקים כל איבר ב־2 – גם את 2πk , שהופך ל־πk :

כי מוסיפים רק π בכל פעם, יהיו יותר פתרונות בתחום. נציב k = 0 :

נציב k = 1 :

עבור k = 2 מקבלים 25π12 , שגדול מ־2π = 24π12 . לכן יש ארבעה פתרונות.